• Область применения
• Математическая модель
• Построение задачи
• Обработка результатов
• Примеры и верификация

Область применения

Модель предназначена для выполнения тепловых расчетов с целью определения распределения температурного поля, оценки тепловых потоков и энергозатрат, оценки режимов работы материалов в различные моменты времени переходного процесса в однослойных и многослойных телах плоской и цилиндрической формы.

Требования к модели и условия, определяющие точность расчета:

• теплофизические свойства материалов (в том числе нелинейные): плотность, теплоемкость, теплопроводность;
• однородность и изотропность слоев;
• малость краевых эффектов: преобладание продольных размеров тела (высота и длина плоской стенки или высота и радиус цилиндрической стенки) над поперечным (толщина стенки) или отсутствие теплообмена в продольном направлении (тепловая изоляция);
• отсутствие массопереноса внутри моделируемых слоев (твердые тела, покоящаяся жидкость или газ);
• отсутствие фазовых переходов материалов слоев.

Математическая модель

Модель основана на решении разностными методами нестационарного одномерного дифференциального уравнения теплопроводности: \[ \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} \right), \] где \( T \) - температура, \( t \) - время, \( x \) - координата, \( \rho \) - плотность, \( c \) - удельная теплоёмкость, \( \lambda \) - теплопроводность.
Условие одномерности принимается из допущения, что: \[ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \gt\gt \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \text{, } \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \gt\gt \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}. \] В модели учитывается нелинейность теплофизических свойств \( \rho, c, \lambda = f(T) \). В качестве начальных условий служит распределение температуры в начальный момент времени \(T(x)|_{t=0}\). Система уравнений дополняется граничными условиями:

первого рода

фиксированная величина температуры на границе \[ T = \text{CONST}; \]

второго рода

фиксированная величина плотности теплового потока на границе \[ \lambda \frac{\partial T}{\partial x} = q, \] где \( q \) - плотность теплового потока;

третьего рода

условия теплообмена на границе \[ \lambda \frac{\partial T}{\partial x} = \alpha ( T - T_o) + \varepsilon \sigma ( T^4 - T_0^4 ), \] где \( \alpha \) - коэффициент теплоотдачи, \( T_o \) - температура внешней среды, \( \varepsilon \) - коэффициент черноты границы, \( \sigma \) - постоянная Стефана - Больцмана;

четвертого рода

равенство плотности теплового потока и температуры на общей границе двух тел \[ \lambda_1 \frac{\partial T_1}{\partial x} = \lambda_2 \frac{\partial T_2}{\partial x} \text{, } T_1 = T_2. \]

Построение задачи

1. Создание материалов
Если в "Библиотеки материалов" достаточно материалов необходимых для выполнения расчета, то переходите к п.2. * Создание материалов доступно только авторизированным пользователям.
Создание собственных материалов с определенными теплофизическими характеристиками осуществляется в разделе материалы. Для создания нового материала выберите библиотеку "Пользовательские" и нажмите кнопку "Добавить материал".
В открывшемся модальном окне введите название материала и заполните известные теплофизические характеристики. Для стационарных тепловых расчетов достаточно значения теплопроводности. В нестационарных расчетах обязательны плотность и теплоемкость.

2. Выбор материалов
Выберите в "Библиотеки материалов" необходимые для расчета материалы. Выбранные материалы отображаются в "Используемые материалы" и становятся доступны при формировании слоев.

3. Ввод начальных и граничных условий
Заполните поля формы исходных данных: введите начальные условия (начальная температура), выберите одни из граничных условий, соответствующих левой и правой границе, и заполните соответствующие коэффициенты (фиксированная температура на границе / фиксированный тепловой поток на границе / коэффициент теплоотдачи и внешняя температура / коэффициент теплоотдачи, коэффициент черноты границы и внешняя температура).

4. Формирование массива слоев тела
Кнопкой + добавьте необходимое количество слоев.
Выберите в выпадающем списке для каждого слоя материал и укажите в текстовом поле соответствующую толщину.

5. Настройки решателя
От настроек решателя зависит точность и скорость расчета. Для большинства типов задач достаточно установленных по умолчанию настроек.
Заполните поля формы настроек решателя.
Увеличение числа элементов - увеличивает точность расчета, но требуется больше вычислительных ресурсов и может снизить скорость расчета.
Укажите общее время процесса и количество временных итераций в этом интервале времени. Увеличение количества временных итераций так же увеличивает точность и требует больше вычислительных ресурсов.
Относительное отклонение и максимальное число простых итераций задают ограничение сходимости задачи. Так относительное отклонение 1.0Е-7 соответствует численной ошибке, стремящейся к нулю (0.000000001%). Если размер численной ошибки не достиг заданного значения за отведенное число простых итераций, то расчет данного временного интервала прекращается и начинается расчет следующего.
Процесс сходимости задачи значительно ухудшается при использовании граничных условий излучения вследствие перехода к нелинейной задаче. в этом случае необходимо увеличить число временных шагов или уменьшить число элементов.

Для просмотра эскиза и описания задачи нажмите "показать" рядом с соответствующим разделом. Эскиз представляет из себя многослойную стенку в разрезе со скомпонованными основными параметрами и размерами.

6. Запуск расчета
Для запуска расчета нажмите кнопку "Запустить".
Настройки задачи и результаты решения авторизированных пользователей сохраняются в персональной базе данных. Для запуска расчета нажмите "Сохранить и запустить". В этом случае произойдет сохранение задачи и ее автоматический запуск на расчет. Для сохранения настроек задачи без запуска нажмите "Сохранить". Запуск задачи на расчет можно будет осуществить в разделе результаты.
После окончания расчета система перейдет в режим обработки результатов.

Обработка результатов

Для просмотра результатов расчета перейдите в соответствующий раздел меню. Если расчет задачи завершен, то она имеет состояние "Решена" и доступен "Просмотр результатов" по ссылке в "состоянии" напротив соответствующей задачи.

Основным результатом теплового расчета является распределение температурного поля. Полученное распределение температуры доступно в графическом представлении и в виде таблицы. Для просмотра таблицы температур нажмите ссылку "показать" у заголовка "Матрица температур".
Помимо температурного поля доступны вторичные характеристики (тепловой поток и теплосодержание слоев) и режимы работы материалов (фактические распределения теплопроводности, плотности, теплоемкости, энтальпии).

Для настройки графических представлений результатов нажмите ссылку "Настройка визуализации". Для нестационарных расчетов доступно представление результатов в виде цветовой карты уровней (вид: поле). При этом: вертикальная ось - момент времени, горизонтальная ось - положение, цвет - температура. Для сглаживания полевого представления доступна интерполяция результатов (может замедлить работу графического элемента).

Log расчета содержит информацию о настройках и ходе решения, в том числе величину численной ошибки на каждой итерации.

Примеры и верификация

Верификация решателя сравнением с 3D моделью в ANSYS CFX.

В качестве примера рассмотрим задачу расчета динамики прогрева трехслойной стенки.

Стенка состоит из различных слоев, расположенных в следующем порядке: огнеупорный бетон толщиной 30 мм, вермикулитовая засыпка 20 мм, лист нанопористого теплоизоляционного материала 5 мм.
В начальный момент времени вся стенка имеет комнатную температуру (20°C).
Стенка, со стороны теплоизоляции, открыта и находится в условиях естественного охлаждения. Со стороны бетона подводится источник теплоты с фиксированной температурой 730°C.
Определить: изменение температуры слоев в течение 1 часа, энергозатраты на прогрев бетона и внешние тепловые потери, исходя из размера фрагмента 0,3 м х 1 м.

Для данной задачи настройки модели будут следующими:
Примем расположение слоев слева на право: теплоизоляция, вермикулит, бетон.

Используемые материалы:
[Огнеупорный бетон] [Вермикулит] [Нанопористая теплоизоляция]
Начальные условия:
20°C;
Левое граничное условие:
спокойный воздух;
Правое граничное условие:
температура: 730 °C;
Слои:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,005 м
#2: Вермикулит / 0,02 м
#3: Огнеупорный бетон / 0,03 м
Число элементов:
3 / непостоянное
Время:
3600 с / 10
Точность:
1.0E-7 / 10

Результаты решения:

Линейное теплосодержание бетона изменилось на 45 МДж / м². Приводя к заданным размерам (0,3 м х 1 м), затраты энергии, на прогрев такого фрагмента бетона в течение 1 часа, составят 3.7 кВтч.
Тепловые потери с внешней поверхности, через 1 час с момента начала нагрева, составят 800 Вт / м², что при приведении к заданным размерам соответствует 240 Вт. При этом, из температурного поля видно, что через 1 час система практически приходит к стационарному режиму.
Вычислительные характеристики: время расчета менее 1 секунды, количество расчетных узлов 34, относительная ошибка 1.6Е-6%, затрачено 340 [OU].

• Область применения
• Математическая модель
• Построение задачи
• Обработка результатов
• Примеры и верификация

Область применения

Модель представляет интерес для инженеров и технологов в области металлургии и предоставляет возможность анализа функционирования системы транспортировки жидких металлов между узлами литейных агрегатов.

Модель предусматривает для расчетов одновременно следующие возможности и особенности:

• динамика распределения температуры расплава по длине линии в процессе литья в зависимости от расхода и начальной температуры;
• предварительный прогрев системы литейных желобов (конвективный, радиационный и комбинированный);
• тепловые потери с зеркала металла в отрытых частях линии;
• фрагменты линии с теплоизоляционными крышками;
• фрагменты линии с нагревательными крышками (конвективными, радиационными и комбинированными);
• асимметричные фрагменты желобов линии;
• фрагменты линии с фиксированным значением изменения температуры;
• фрагменты линии с фиксированным значением мощности потерь или нагрева;
• приближенная турбулентность потока расплава на каждом фрагменте (число Рейнольдса);
• построение линии, состоящей из различных фрагментов и узлов.

Средства обработки и анализа результатов:

• диаграмма распределения температуры расплава по всей длине линии в различные моменты времени литья;
• диаграмма предварительного прогрева желобов по длине линии;
• диаграмма тепловых потерь расплава по длине линии;
• распределение максимальной температуры на внешней поверхности фрагментов литейной линии;
• диаграмма динамики изменения внешней температуры и тепловых потерь каждого фрагмента.

Допущения модели:

• температурное поле в поперечном сечении расплава однородно;
• пренебрегаются краевые эффекты.

Математическая модель

Модель основана на разработанном нестационарном тепловом решателе многослойной стенки применительно к системе литейных желобов (см. описание модели "Переходный процесс"). Разработан расчетный алгоритм и интерфейс построения задачи с учетом особенностей функционирования и эксплуатации таких систем.

Построение задачи

1. Создание материалов
Если в "Библиотеки материалов" достаточно материалов необходимых для выполнения расчета, то переходите к п.2. * Создание материалов доступно только авторизированным пользователям.
Создание собственных материалов с определенными теплофизическими характеристиками осуществляется в разделе материалы. Для создания нового материала выберите библиотеку "Пользовательские" и нажмите кнопку "Добавить материал".
В открывшемся модальном окне введите название материала и заполните известные теплофизические характеристики. Для стационарных тепловых расчетов достаточно значения теплопроводности. В нестационарных расчетах обязательны плотность и теплоемкость.

2. Выбор материалов
Выберите в "Библиотеки материалов" необходимые для расчета материалы. Выбранные материалы отображаются в "Используемые материалы" и становятся доступны при формировании слоев.

3. Ввод исходных данных
Заполните поля формы исходных данных.

3.1. Начальные условия и внешние условия теплообмена.
Введите начальную, для расчета, температуру линии.
Выберите один из видов граничных условий, соответствующих внешним условиям теплообмена, и заполните соответствующие коэффициенты (фиксированная температура на границе / фиксированный тепловой поток на границе / коэффициент теплоотдачи и внешняя температура / коэффициент теплоотдачи, коэффициент черноты границы и внешняя температура).

3.2. Настройки фазы предварительного нагрева.
Выберите одно из условий предварительного прогрева линии (фиксированная температура на границе / фиксированный тепловой поток на границе / коэффициент теплоотдачи и внешняя температура / коэффициент теплоотдачи, коэффициент черноты границы и внешняя температура) и заполните соответствующие коэффициенты. Варьирование настроек предварительного нагрева позволяет учесть конвективный (газовый), радиационный и комбинированный вид нагрева.
Введите время продолжительности предварительного нагрева и количество временных итераций в этом интервале времени. Увеличение количества временных итераций увеличивает точность и требует больше вычислительных ресурсов.

3.3. Настройки фазы литья.
Выберите материал расплава. Описание создания новых материалов см. в п. 1.
Введите следующие характеристики литья:
- коэффициент черноты свободной поверхности расплава – определяет корректность расчета тепловых потерь с открытых участков линии и участков с радиационными нагревателями;
- объемный расход расплава в м³/с;
- температуру расплава на входе в линию.
Введите время продолжительности литья и количество временных итераций в этом интервале времени. Увеличение количество временных итераций увеличивает точность и требует больше вычислительных ресурсов.

4. Состав линии
Для добавления новых фрагментов литейной линии нажмите >. < - удаляет фрагмент и все его настройки.
Для выполнения настроек интересующего фрагмента щелкните по «Фрагмент n», где n – номер соответствующего фрагмента.
Необходимо выполнить настройки всех созданных фрагментов линии.

4.1. Введите длину выбранного фрагмента и количество расчетных точек по его длине. Увеличение числа расчетных точек - увеличивает точность расчета, но требуется больше вычислительных ресурсов и может снизить скорость расчета.

4.2. Выберите тип фрагмента.
Тип «Фиксированное падение температуры» или «Фиксированные тепловые потери» - нерасчетные участки линии с соответствующими заданными параметрами.
Тип «Расчетный» - фрагменты желобов с теплоизоляцией, подлежащие тепловому расчету.

4.3. Выполните настройки сторон фрагмента (боковые стенки и подина). Для этого указывается внутренний размер соответствующей стороны (внешний размер является дополнительным поправочным параметром и служит для учета расширения стороны к внешней поверхности). Сформируйте массив слоев каждой стороны. Кнопкой + добавьте необходимое количество слоев. Слои для всех сторон задаются в порядке от внешней поверхности к внутренней. Выберите в выпадающем списке для каждого слоя материал и укажите в текстовом поле соответствующую толщину. Если конфигурация боковых стенок фрагмента различна, установите галочку "Асимметричная конструкция боковых стенки" и выполните индивидуальные настройки для левой и правой стенок.

4.4. Выполните настройки крышки фрагмента. Для этого выберите тип крышки.
Тип крышки «Отсутствует» - учитывает тепловые потери с зеркала металла в соответствии с указанным в п. 3.3 коэффициентом черноты и указанными в п. 3.1 внешними условиями теплообмена.
Тип крышки «Футерованная крышка» - расчет выполняется аналогично сторонам фрагмента (см. п. 4.3).
Тип крышки «Нагрев (по тепловому потоку)» и «Нагрев (по условиям теплообмена)» – позволяет задать условия подогрева расплава в процессе литья на заданном фрагменте (нагревательные крышки). Необходимо указать ширину зеркала металла и соответствующие выбранному типу параметры: величину теплового потока или коэффициент теплоотдачи, коэффициент черноты и температуру нагревателя.

5. Настройки решателя
От настроек решателя зависит точность и скорость расчета. Для большинства типов задач достаточно установленных по умолчанию настроек.
Заполните поля формы настроек решателя.
Увеличение числа элементов - увеличивает точность расчета, но требуется больше вычислительных ресурсов и может снизить скорость расчета.
Относительное отклонение и максимальное число простых итераций задают ограничение сходимости задачи. Так, относительное отклонение 1.0Е-7 соответствует численной ошибке, стремящейся к нулю (0.000000001%). Если размер численной ошибки не достиг заданного значения за отведенное число простых итераций, то расчет данного временного интервала прекращается и начинается расчет следующего.
Процесс сходимости задачи значительно ухудшается при использовании граничных условий излучения вследствие перехода к нелинейной задаче. В этом случае необходимо увеличить число временных шагов или уменьшить число элементов.

Для просмотра эскиза и описания задачи нажмите "показать" рядом с соответствующим разделом. Эксиз представляет из себя общий вид линии сбоку с указанием основных размеров, параметров и конфигурации фрагментов линии. Также, в окне "состав линии", представлен расчетный эксиз поперечного сечения выбранного фрагмента.

6. Запуск расчета
Для запуска расчета нажмите кнопку "Запустить".
Настройки задачи и результаты решения авторизированных пользователей сохраняются в персональной базе данных. Для запуска расчета нажмите "Сохранить и запустить". В этом случае произойдет сохранение задачи и ее автоматический запуск на расчет. Для сохранения настроек задачи без запуска нажмите "Сохранить". Запуск задачи на расчет можно будет осуществить в разделе результаты.
После окончания расчета система перейдет в режим обработки результатов.

Обработка результатов

Для просмотра результатов расчета перейдите в соответствующий раздел меню. Если расчет задачи завершен, то она имеет состояние "Решена" и доступен "Просмотр результатов" по ссылке в "состоянии" напротив соответствующей задачи.

Основным результатом расчета является распределение температуры расплава по длине линии в различные моменты времени в процессе литья. Полученное распределение температуры доступно в графическом представлении и в виде таблицы. Для просмотра таблицы температур выберите закладку «Таблица».
Также доступны дополнительные средства анализа линии и созданных фрагментов. Для переключения между характеристиками линии используйте закладки «Общие», «Фрагмент 1», «Фрагмент 2» и т.д.
Характеристика линии «Общие» содержит график распределения максимальной температуры на внешней поверхности линии (наружная температура), график распределения средней температуры на внутренней поверхности желобов в фазе предварительного нагрева (предпрогрев линии) и график распределение линейных тепловых потерь с поверхности расплава в фазе литья (тепловые потери расплава). Помимо этого, указаны максимальная скорость потока и максимальное число Рейнольдса в линии.
Характеристика линии «Фрагмент n» для расчетных фрагментов содержит обобщённый график изменения максимальной температуры внешней поверхности участка в фазе прогрева и литья и график изменения мощности тепловых потерь с расплава на данном участке. Помимо этого указаны скорость потока и число Рейнольдса на данном участке.

Для настройки графических представлений результатов нажмите ссылку "Настройка визуализации". Доступно представление результатов в виде цветовой карты уровней (вид: поле). При этом: вертикальная ось - момент времени, горизонтальная ось - положение, цвет - температура. Для сглаживания полевого представления доступна интерполяция результатов (может замедлить работу графического элемента).

Log расчета содержит информацию о настройках и ходе решения, в том числе, величину численной ошибки на каждой итерации.

Примеры и верификация

В качестве примера рассмотри задачу теплового анализа составной литейной линии по жидкому алюминию общей длиной 16 м.

В основе всей линии установлены желоба со следующими параметрами: материал – огнеупорный бетон, внутренняя ширина – 175 мм, рабочий уровень расплава – 300 мм, толщина боковых стенок – 45 мм, толщина дна – 80 мм.
Линия имеет следующие характерные участки, расположенные в порядке от раздаточной печи до литейной машины:
1. Без теплоизоляции стенок и дна, с теплоизоляционной крышкой толщиной 20 мм. Длина 1.5 м;
2. С теплоизоляцией стенок и дна толщиной 40 мм, с теплоизоляционной крышкой толщиной 20 мм. Длина 8 м;
3. Без теплоизоляции стенок и дна, без крышки. Длина 1 м;
4. Фильтр с заданным падением температуры -5°C. Длина 1.5 м;
5. С теплоизоляцией стенок и дна толщиной 20 мм, с крышкой радиационного нагрева (температура нагревателя 1200°C). Длина 4 м.
В качестве теплоизоляции везде применен нанопористый теплоизоляционный материал.
Перед началом литья в течение 1 часа осуществляется газовый прогрев линии со следующими условиями: средняя температура газа у нагреваемой поверхности 800°C, интенсивность соответствует коэффициенту теплоотдачи 25 Вт/(м²·K).
После прогрева осуществляется литье жидкого алюминия со следующими параметрами: температура расплава на выходе из печи 730°C, расход 20 т/ч.
Цеховая температура 20°C.
Определить: изменение температуры расплава по длине линии в процессе литья за первые 2 часа, наиболее неблагоприятные участки с точки зрения тепловых потерь и температуры внешней поверхности.

Для данной задачи настройки модели будут следующими:

Используемые материалы:
[Огнеупорный бетон] [Нанопористая теплоизоляция] [Жидкий алюминий]

Начальные условия:
20°C
Внешние условия теплообмена:
спокойный воздух
Условия предварительного нагрева:
конвекция: 25 Вт/(м²·K), 800°C
Продолжительность прогрева:
3600 c / 10
Материал расплава:
Жидкий алюминий
Вязкость расплава:
5.6E-7 м²/c
Характеристики литья:
0.15 / 0.0023 м³/c / 730°C
0.15 - коэффициент черноты характерный для чистой свободной поверхности жидких металлов. Расход 20 т/ч при соответствует 0.0023 м³/c по жидкому алюминию.
Продолжительность литья:
7200 с / 12
Число элементов:
4 / непостоянное
Точность:
1.0E-7 / 10

СОСТАВ ЛИНИИ:

ФРАГМЕНТ #1:
длина:
1.5 / 4
Тип фрагмента:
расчетный
Боковые стенки:
Внутренний размер / внешний размер:
0.3 / 0.35
Слои футеровки:
#1: Огнеупорный бетон / 0,045 м
Подина:
Внутренний размер / внешний размер:
0.175 / 0.265
Слои футеровки:
#1: Огнеупорный бетон / 0,08 м
Крышка:
Тип крышки:
Футерованная крышка
Внутренний размер / внешний размер:
0.175 / 0.265
Слои футеровки:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,02 м

ФРАГМЕНТ #2:
длина:
8 / 10
Тип фрагмента:
расчетный
Боковые стенки:
Внутренний размер / внешний размер:
0.3 / 0.35
Слои футеровки:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,04 м #2: Огнеупорный бетон / 0,045 м
Подина:
Внутренний размер / внешний размер:
0.175 / 0.265
Слои футеровки:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,04 м #2: Огнеупорный бетон / 0,08 м
Крышка:
Тип крышки:
Футерованная крышка
Внутренний размер / внешний размер:
0.175 / 0.265
Слои футеровки:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,02 м

ФРАГМЕНТ #3:
длина:
1 / 3
Тип фрагмента:
расчетный
Боковые стенки:
Внутренний размер / внешний размер:
0.3 / 0.35
Слои футеровки:
#1: Огнеупорный бетон / 0,045 м
Подина:
Внутренний размер / внешний размер:
0.175 / 0.265
Слои футеровки:
#1: Огнеупорный бетон / 0,08 м
Крышка:
Тип крышки:
Отсутствует
Ширина зеркала метала:
0.175

ФРАГМЕНТ #4:
длина:
1.5 / 4
Тип фрагмента:
Фиксированное падение температуры
5°C

ФРАГМЕНТ #5:
длина:
4 / 5
Тип фрагмента:
расчетный
Боковые стенки:
Внутренний размер / внешний размер:
0.3 / 0.35
Слои футеровки:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,02 м #2: Огнеупорный бетон / 0,045 м
Подина:
Внутренний размер / внешний размер:
0.175 / 0.265
Слои футеровки:
#1: Нанопористая теплоизоляция / 0,02 м #2: Огнеупорный бетон / 0,08 м
Крышка:
Тип крышки:
Нагрев (по условиям теплообмена)
Ширина зеркала метала:
0.175
Условия теплообмена:
0.9 / 10 Вт/(м²·K) /1200°C

Результаты решения:

Фрагменты с максимальными линейными тепловыми потерями в конце литья являются 1 и 3 (3.4 кВт/м и 5.5 кВт/м), что соответствует 5.2 кВт и 5.5 кВт соответственно. При этом температура их внешней поверхности поднимается до 490°C.
Из диаграммы распределения температуры расплава видно, что примерно на 90-й минуте литья (150-й минуте с учетом фазы предподогрева) нестационарная составляющая тепловых потерь расплава заканчивается и система переходит в близкий к установившемуся режим. Температура на выходе в литейную машину перестает меняться и составляет 723°C.
Вычислительные характеристики: время расчета 3 секунды, количество расчетных узлов 1936, относительная ошибка не более 1Е-7%, затрачено 12090 [OU].